复变函数课件（精选十六篇）
发表时间：2019-03-16复变函数课件（精选十六篇）。
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函数是数学中一个重要的概念，也是数学和计算机科学中常见的概念之一。它在求解问题、描述规律和实现功能等方面都起着关键的作用。本文将从函数的定义、特点、分类和应用等方面详细介绍函数的概念。
一、函数的定义
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。换句话说，函数是一个规则，它将每一个输入值映射到一个唯一的输出值上。函数通常用f(x)或者y表示，其中x是输入值，y是输出值。
函数的定义包括以下几个要素：
1.定义域：函数的定义域是指所有可能的输入值的集合。函数只能对定义域内的值进行运算和映射。
2.值域：函数的值域是指所有可能的输出值的集合。函数的输出值只能取值于值域内。
3.映射规则：函数的映射规则是指定义在定义域上的数学关系。它描述了输入值和输出值之间的对应关系。
二、函数的特点
函数有以下几个特点：
1.唯一性：对于一个确定的输入值，函数的输出值是唯一确定的。换句话说，一个输入值不能对应多个输出值。
2.多样性：函数的定义域和值域可以是任意的集合，可以是有限集，也可以是无限集。
3.有序性：函数是有序的，即输入值和输出值之间是有顺序的。输入值的顺序决定了输出值的顺序。
4.确定性：函数的映射规则是确定的，即对于相同的输入值，得到的输出值是相同的。
三、函数的分类
函数可以根据不同的特点进行分类，常见的分类有以下几种：
1.按照定义域和值域的类型分类：
- 实函数：定义域和值域都是实数集合的函数。
- 自然函数：定义域和值域都是非负整数集合的函数。
- 分段函数：定义域可以划分成多个区间，并在每个区间上定义不同的映射规则的函数。
2.按照映射规则的特点分类：
- 一次函数：函数的映射规则是一次多项式。
- 幂函数：函数的映射规则是幂指数函数。
- 指数函数：函数的映射规则是指数函数。
- 对数函数：函数的映射规则是对数函数。
3.按照函数的性质分类：
- 奇函数：函数满足f(-x)=-f(x)的函数。
- 偶函数：函数满足f(-x)=f(x)的函数。
- 周期函数：函数在一定区间上满足f(x+T)=f(x)的函数。
四、函数的应用
函数在数学和计算机科学中具有广泛的应用：
1.函数在求解问题中有着重要的作用。例如，用函数可以描述一辆汽车的速度和时间之间的关系，并用这个函数来计算汽车行驶的距离。
2.函数在描述规律和模型中起着关键的作用。例如，用函数可以描述物体的运动规律、人口增长规律等。
3.函数在算法和程序设计中有着重要的应用。例如，函数可以将一段复杂的逻辑封装成一个函数，以便在需要的时候调用，提高程序的可读性和可维护性。
4.函数在数据分析和统计中有广泛的应用。例如，用函数可以描述一组数据的分布规律，通过函数来进行数据分析和预测。
小编认为，函数是数学中一个重要的概念，它具有唯一性、多样性、有序性和确定性的特点。函数可以根据不同的特点进行分类，并在数学、计算机科学和其他领域中有着广泛的应用。了解函数的概念对于理解数学和计算机科学的课程内容，以及在实际问题中的求解具有重要的意义。
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正比例函数教学课件
一、教学目标
1.认识正比例函数形式
2.画正比例函数图像
二、教学重难点及教学设计
重点：正比例函数的性质、特征
难点：画出正比例函数图像
教学设计：
1. 从生活中的事例入手引入新课
2. 热炒热卖，即时巩固练习
3. 引导学生自己归纳总结得到正比例函数的知识
三、教具准备
多媒体课件、辅助小黑板、三角板一块
四、教学过程
引导：回顾旧知识，引入新知识。问题：据了解目前市场的鱼是8元/斤 ，顾客买鱼所付的价钱y（单位：元）与买鱼的重量x（单位：斤）变化而变化。请同学们列出函数关系式：
得出函数式：y8x
探索研究：
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；l
（2）铁的密度为7.8g
32r /cm，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单3位：cm）的大小变化而变化；m7.8V
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；h0.5n
（4）冷冻一个00c的物体，使它每分下降2c，物体的温度T（单位：c）00随冷冻时间t (单位：分)的变化而变化。T
同学们观察一下这些函数有什么共同点？ 2t
通过观察正如之前我们一起解决的实际问题时列出的函数
刚才所列出的函数都是常数与自变量的乘积的形式。 y8x一样，
l2r
m7.8V
h0.5n
T2t
y8x
观察一下其中2,7.8,0.5,2,8都是常量，我们统一用k来表示，r,V,n,t,x都是变量，我们用x来表示，函数l,m,h,T,y统一由y表示。则以上式子我们不难给它找到一个通式
组织练习巩固知识点。
研究正比例函数图像：下面我们一起来看一个相对简单的函数式ykx（其中k为常数，k0）。 y2x 请同学们用列图表描点画图像的步骤，先在草稿本上画出图表，然后同学们自己画出该函数的'图像。总结归纳出一些函数性质。
同学们再用相同的方法快速做出y比较一下两函数之间有2x的函数图像，
什么异同之处。
通过学习，我们知道了些什么呢，我们来梳理一下我们今天所学习的内容。 首先，我们会根据问题列出一些形如ykx的函数关系式。
0时，y随x我们还研究了它的一些特性。知道图像过原点（0,0）。当k
的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减少。
总结本堂课所学重点。
下来同学们再去生活中采集一些关于正比例函数的应用，后面的内容我们下节课接着讲，今天的作业是习题14.2-1、2、4（1）
下课
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复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论的发展简况
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的'稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
复变函数论的内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
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1、 掌握对数函数的定义和图象，理解并记忆对数函数的性质。 2、 培养分析推理能力 3、 培4、 重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质。 5、 难点：底数a对数函数的影响 。首先复习对数的定义 师：上次讲细胞分裂问题时得到细胞个数y是分裂次数x的.函数。今天我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多次分裂，大约可以得到1万个，10万个等等，那么，分裂次数可以用怎样的关系式来表示呢？ 生：表达式是x=log ，表示分裂次数x是细胞个数y的函数 师：如果用x表示自变量，y表示函数，此式又可化为y=logax ，那么它与指数函数有何关系？函数y=log ax的定义域是什么？ 生：它们互为反函数，由于y= 的值域是{y|y>0}所以y=logax的定义域是{x|x>0} 师：对，由此我们就可以得到新的函数的定义。（引入课题《对数函数的概念及性质》）一般地，函数y=log ax叫做对数函数，(a>0且a≠1)其中是自变量，定义域是{x|x>0}⧈ 复变函数课件 ⧈
一、考试内容
1. 熟练掌握解析函数的概念，解析函数的各种判定法以及解析函数与调和函数的关系。
2. 理解初等多值函数的概念。
3. 熟练掌握复积分的'基本定理，如柯西积分定理，柯西积分公式等。
4. 熟练掌握解析函数的幂级数以及罗朗级数表示法。
5. 掌握解析函数的唯一定理以及最大模原理。
6. 熟悉解析函数在孤立奇点性质。
7. 熟练掌握残数（留数）定理及其在实积分计算中应用。
8. 掌握辐角原理及其应用。
9. 熟练掌握分式线性变换以及简单初等函数构成的映射的特征。
10. 熟悉保形变换的黎曼存在定理，边界对应定理以及克利斯托弗-席互兹公式。
二、参考书目
1. 钟玉泉编，《复变函数论》（第二版），高等教育出版社，1988
2. 钟玉泉，《复变函数学习指导书》，高等教育出版社，1996
3. 李建林，《复变函数典型题分析解集》，西北工业大学出版社，1998
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解：为的孤立奇点。
因为
而 不存在
所以为的可去奇点，为的本性奇点。
注：在运用复变函数的洛必达法则进行孤立奇点类型判定时，可遵循以下四个步骤：
（1）找出给定解析函数的孤立奇点。
（2）对各孤立奇点求极限，考察是否为型或型。
（3）若是，可套用洛必达法则求极限，若是其他类型，可变形为型或型。
（4）根据所求极限的结果判定孤立奇点的类型。
参考文献
[1]华东师范大学数学分析高等教育出版社2001年6月
[2]钟玉泉复变函数论高等教育出版社2002年5月
[3]于慎根复变函数南开大学出版社1991年5月
[4]陆庆乐复变函数学习方法指导书高等教育出版社1982年10月
[5]谢力之刘中兴复变函数奇点电子工业出版社1988年5月
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关于复变函数论第四版第三章的练习
复变函数论 第三章 练习题 2014-04-14 复积分是研究解析函数的一个重要工具. 柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，是复变函数论的基本定理和基本公式。由柯西定理可导出解析函数的一系列重要结果，诸如柯西积分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特别地，有解析函数有连续导数以及任意阶导数. 直到20世纪中期，这两个结果才分别由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65, 1959)及E.nell and P.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓扑方法做出证明。作为柯西积分定理的推广，则由应用广泛的留数基本定理，代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论，应用它还可以计算一些较复杂的实定积分。
一、柯西积分定理的理解
1.设函数f(z)在区域D内解析，那么这个函数沿D内任意闭路线积分是否都为零？为什么？
2.对什么样的周线C, 有?C1dz?0. 2z?z?1
3.设函数f(z)在0?|z|?1内解析，且沿任何圆周C:|z|?r,0?r?1的'积分值为零。问f(z)是否必须在z?0处解析？试举例说明之？
4.设函数f(z)在单连通区域D内解析，且在D内的闭曲线C上满足|f(z)?1|?1.证明：?Cf?(z)dz?0. f(z)
二、利用柯西定理、柯西公式、不定积分（原函数）和路径无关性等计算积分
1.计算下列积分：
（1）?
?Cdz,C:|z|?3； 2z(z?1)sinz,C:|z?2i|?2；（3）?(|z|?z),C:|z|?1 ； Cz2?9（2）
(4) C?C(|z|?ezsinz)dz,C:|z|?a?0;
*（5）dz?C(z?2)(z?4)(z?6)(z?100),C:|z|?99。
2.沿从1到?
1的如下路径求?. （1）上半单位圆周；（2）下半单位圆周，
取沿负实轴割开平面的主值支。
3.设函数f(z)在|z|?1内解析，在闭圆|z|?1上连续，且f(0)?1,求积分
11dz[2?(z?)]f(z)之值. 2?i?|z|?1zz
1z?adz1(|a|?R),4.通过计算积分求证2?i?|z|?Rz?az2??2?
0R2?|a|2d ?1. i 2|Re?a|
三、柯西定理、柯西公式、积分估值、柯西不等式等定理在命题证明中的应用
1. 设f(z)在周线C所围的区域D上解析，在D+C上连续，则对任意z?D,有|f(z)|?M,其中M?max|f(z)|，从而求|ez|在|z|?1上的最大值。 z?C
2.设a,b为实数，s???it(??0),证明不等式|ebs?eas|?|s||b?a|emax{a,b}?.
3.若函数f(z)在区域D内解析，C为D内以a,b为端点的直线段。试证：存在数?,|?|?1,与??C使得f(a)?f(b)??(b?a)f?(?).
4.如果在|z?|1函数内f(z)解析，且|fz(?1
1?z|| .证：试
1|f(n)(0)|?(n?1)!(1?)n?e(n?1)!,(n?1,2,). n
5. 如果函数f(z)在|z|?1内解析，在|z|?1上函数值f(ei ?)a?co ?si sin?, ?0?a?2试求这个函数,1. ,2a?2ac o?s1
6*.（含无穷远点的柯西积分公式）设函数f(z)在简单闭曲线C的外部区域D解析，在D+C上连续，且有limf(z)?A.证明：z????f(z)?A,z?D?E(C),1f(?) dz??A,z?I(C)2?i?C??z?
22四、关于调和函数和解析函数 1.设w?u?iv是z的解析函数，且u?(x?y)(x?4xy?y). 求v.
px2.设u(x,y)?esiny,而f(z)?u?iv为一解析函数，试求p的值与f(z).
3.确定形如u?f()的所有调和函数。
4.若调和函数u(x,y)的自变量替换成x?x(?,?),y?y(?,?)其中y(?,?)为x?x(?,?)的共轭调和函数，试证明替换后的函数仍然是调和函数。 yx
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反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一个重要章节，是常见的函数类型之一。反比例函数在实际生活中也有广泛的应用，如在经济学、物理学等领域中，反比例函数扮演着重要的角色。本文将介绍反比例函数的图像和性质，旨在帮助读者更好地了解反比例函数。
反比例函数的定义
反比例函数是一种函数类型，通常用y = k/x的形式表示，其中k为常数。这个函数的特点是，当x值变大，y值变小；反之，当x值变小，y值变大。这也是为什么这个函数被称为“反比例函数”。
反比例函数的图像
为了更好地理解反比例函数的特点，我们可以通过图像来展示它的性质。下面我们将通过不同的常数k值来描绘反比例函数图像，主要分为以下两个部分：
1.当k>0时
当k为正数时，反比例函数的图像为一条从右上方斜向左下方倾斜的曲线。从原点开始绘制图形，当x值增加时，y值不断减小，而曲线却越来越平缓，直至渐近于y = 0轴。这种趋势表明，当x值变得极大时，y值将趋近于零。这也是代表反比例函数的“倒双曲线”的一般图像。
2.当k
当k为负数时，反比例函数的图像为一条斜率为负的直线。同样从原点开始绘制图像，当x值增加时，y值也会增加，直至渐近于y = 0轴。这种趋势表明，当x值变得非常小的时候，y值也会趋近于零。这也代表反比例函数的一般图像。
反比例函数的性质
1.无极限
反比例函数是一种无极限的函数类型。反比例函数的图像在一条轴上渐近于零，因此当x变得非常大或非常小的时候，此函数的值会接近于零。这种性质的应用非常广泛，特别是在经济学领域中，例如数量需求和价格需求。
2.凸性
反比例函数不具有凸性，它在坐标轴上逐渐趋近于平坦。这种凸性缺失的性质反映了反比例函数的特殊性质。
3.横截距
反比例函数的横截距是其常数k。当x = 0时，y=k，即反比例函数的截距为k。
4.渐进线
反比例函数的图像有两条渐近线。当k>0时，渐近线分别为x = 0和y = 0；当k
结论
反比例函数在数学中是一种重要的函数类型。本文分析了反比例函数的图像和性质，体现了反比例函数的特殊性质，并说明了反比例函数在实际生活中的应用。反比例函数在科学计算、经济学和物理学等领域中都有广泛的应用。希望本文能使读者更好地了解反比例函数的图像和性质，有助于读者更深入地了解反比例函数。
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正弦函数图像教学之浅见
对于正弦函数图像,学生容易记错.为使学生记住图像并能熟练地运用,教师还要形象化地帮助学生记忆.
作 者：许桂珍 作者单位：南京工程高等职业学校,江苏・南京,211135 刊 名：科教文汇 英文刊名：EDUCATION SCIENCE & CULTURE MAGAZINE 年，卷(期)： “”(23) 分类号：G712 关键词：高职数学教学 正弦函数图像 教学 记忆⧈ 复变函数课件 ⧈
2．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）
4．已知ab,ab 下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3) ,(4)a b ,(5)( )a( )b
（C）y= （D）y=
8．若函数y=32x-1的反函数的图像经过P点，则P点坐标是（ ）
（A）（2，5） （B）（1，3） （C）（5，2） （D）（3，1）
10．已知函数f(x)=ax+k,它的.图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）
(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3
11．已知01,b-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（ ）
12．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）
（A）na(1-b%) （B）a(1-nb%) （C）a[(1-(b%))n （D）a(1-b%)n
13．若a a ,则a的取值范围是 。
14．若10x=3,10y=4,则10x-y= 。
15．化简= 。
18．(12分)若 ，求 的值.
19．（12分）设01,解关于x的不等式a a .
20．（12分）已知x [-3,2]，求f(x)= 的最小值与最大值。
21．（12分）已知函数y=( ) ，求其单调区间及值域。
22．(14分)若函数 的值域为 ，试确定 的取值范围。
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4.(- ,0) (0,1) (1,+ ) ,联立解得x 0,且x 1。
5．[（ ）9，39] 令U=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9,∵ -3 ,又∵y=( )U为减函数，（ ）9 y 39。 6。D、C、B、A。
令y=3U,U=2-3x2, ∵y=3U为增函数，y=3 的单调递减区间为[0，+ ）。
8．0 f(125)=f(53)=f(522-1)=2-2=0。
9． 或3。
Y=m2x+2mx-1=(mx+1)2-2, ∵它在区间[-1，1]上的最大值是14，（m-1+1）2-2=14或（m+1）2-2=14,解得m= 或3。
11．∵ g(x)是一次函数，可设g(x)=kx+b(k 0), ∵F(x)=f[g(x)]=2kx+b。由已知有F（2）= ，F（ ）=2， ， k=- ,b= ,f(x)=2-
1．∵02, y=ax在（- ，+ ）上为减函数，∵ a a , 2x2-3x+1x2+2x-5,解得23,
2.g[g(x)]=4 =4 =2 ,f[g(x)]=4 =2 ,∵g[g(x)]g[f(x)]f[g(x)], 2 2 ,22x+122x, 2x+12x,解得01
3.f(x)= , ∵x [-3,2],.则当2-x= ,即x=1时,f(x)有最小值 ；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值57。
4．要使f(x)为奇函数，∵ x R,需f(x)+f(-x)=0, f(x)=a- =a- ,由a- =0,得2a- =0,得2a- 。
5．令y=( )U,U=x2+2x+5,则y是关于U的减函数，而U是(- ,-1)上的减函数，[-1，+ ]上的增函数， y=( ) 在（- ，-1）上是增函数，而在[-1，+ ]上是减函数，又∵U=x2+2x+5=(x+1)2+4 4, y=( ) 的值域为（0，（ ）4）]。
由函数y=2x的单调性可得x 。
7．（2x）2+a(2x)+a+1=0有实根，∵ 2x0,相当于t2+at+a+1=0有正根，
则
8．（1）∵定义域为x ,且f(-x)= 是奇函数；
（2）f(x)= 即f(x)的值域为（-1，1）；
（3）设x1,x2 ,且x1x2,f(x1)-f(x2)= (∵分母大于零，且a a ) f(x)是R上的增函数。
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b10202班姓名李建良学生36号
在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都用数学理论来解决实际问题。
复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。以第一章为例，复数和复变函数。本课程的目标是自变量为复数的函数。在中学，我们学习了复数的概念和基本运算。
本章将在原文的基础上进行简要的回顾和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。
第一节是对原有内容的回顾，然后逐步引入功能的概念。然后介绍了复函数的表达式、复函数的幂和平方根以及加减法。因为上学期我们把极限的概念引入了函数的概念，但是复杂函数也有极限的特点。
所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。
在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。
而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。这本书解释了积分在数学中的应用，两种积分变换傅里叶变换和拉普拉斯变换。利用fourier变换和laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿fourier变换而言，先引进fourier定理，然后利用fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。
其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把fourier变换的思路用在laplace变换，就会简化对laplace变换的学习，我才明白fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。
通过这两本书的学习，我觉的，它不仅仅带给我的是挑战，而且也将为我们将来在工程技术领域中开扩了思路，照亮了方向，这也让我们知道数学在工程领域的作用和不可磨灭的高度。
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1、使学生掌握指数函数的概念，图象和性质。
（1）能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域。
（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质。
（3） 能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小，会利用指数函数的图象画出形如的图象。
2、 通过对指数函数的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3、通过对指数函数的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。
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反比例函数的图像和性质
反比例函数是高中数学中的一种重要函数，也是函数的基本类型之一。它的函数公式为y=k/x，其中k为常数，x≠0。通常情况下，反比例函数是一种下降的曲线，当自变量x增大时，函数值y减小，反之亦然。在本文中，我们将深入探究反比例函数的图像和性质的相关知识。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是一条下降的曲线，其中，x轴长短线上的点表示自变量，y轴长短线上的点表示函数值。反比例函数的图像不过是一组曲线，它们有着很多相同的性质，下面我们将分别讨论它们的特点。
首先，反比例函数的图像可以通过直接画出其函数值来得到。因为反比例函数的函数公式中的k为一个常数，所以我们可以在画图时选取任意一个k值来画出函数的图像，然后通过调整k值来得到更多曲线。当k值增大时，曲线的开口会向下收缩，反之亦然。
其次，反比例函数的图像有两条特殊的曲线，分别是x轴和y轴。当自变量x为0时，函数值y并没有无限趋于0的趋势，因此x轴上有一条垂直于y轴的直线。相似地，当函数值y为0时，自变量x也不会无限趋于0，因此y轴上也有一条垂直于x轴的直线。这两条特殊曲线被称为反比例函数的渐近线，它们能够帮助我们更好地理解反比例函数的图像。
反比例函数的性质
反比例函数是一种重要的数学函数，它具有许多特殊的性质。下面我们将分别从函数的定义、导数、极值、单调性、对称性和渐近线等方面来阐述其性质。
1. 函数的定义：反比例函数的最大特点在于其函数公式的分母中包含了自变量x。因此，在求函数值时我们必须排除x=0的情况。另外，当x>0时，函数值y0。只有当x=0时，函数值不存在。
2. 导数：由于反比例函数的导数比较复杂，一般来说我们不会求导数来确定其极值和单调性。但是在某些情况下，求导数还是很有必要的。当我们需要求反比例函数的曲线的倾斜程度或者图像在某个点的斜率时，就需要求导数来解决问题。
3. 极值：反比例函数最大或最小的值出现在两个特殊点上，即x=0和y=0。可以证明，在直线x=0上函数取得最大值，而在y=0上函数取得最小值。这两个点都是反比例函数的拐点，并且是异于常函数的唯一特征。
4. 单调性：当自变量x增加时，函数值y减小，也就是说，反比例函数是单调递减的。由于反比例函数在每个拐点处都不连续，因此在某些情况下它并不会单调递减。
5. 对称性：反比例函数的图像有两个轴对称。既有y轴对称，也有x轴对称。这意味着如果我们在图像上求出了一个点，那么这个点的对称点也必然存在于图像上。
6. 渐近线：反比例函数的渐近线可以帮助我们更好地理解该函数。对于该函数，其x轴的渐近线在y轴的正方向上趋近于零，y轴的渐近线在x轴的正方向上趋近于零。这也就是反比例函数的重要特点之一。通过这些渐近线的特性，我们可以更好地预测反比例函数的行为，从而更好地应用它们。
总结
反比例函数是一种重要的数学函数。其图像是一组曲线，有两个特殊的渐近线。反比例函数的性质包括函数的定义、导数、极值、单调性、对称性和渐近线等。对于任何一个数学学生来说，了解反比例函数及其性质都是必要的。这样才能更好地掌握函数的重要性，并应用它们来解决实际问题。
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(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1. 复数z16-8i的辐角为( ) 2525
2A. arctan1 B.-arctan1 C.π-arctan1 D.π+arctan1 222
2.方程Rez21所表示的平面曲线为( )
A. 圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线
3.复数z-3(cos)的三角表示式为( ) 5
4444A.-3(cos,+isin) B.3(cos,-isin) 5555
4444C.3(cos,+isin) D.-3(cos,-isin) 5555
4.设z=cosi，则( )
A.Imz=0 B.Rez=π C.|z|=0 D.argz=π 5,-isin
5.复数e3i对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.设w=Ln(1-I),则Imw等于( )
B.2k-,k0,1, 44
C. D.2k,k0,1, 44
7.函数wz2把Z平面上的扇形区域：( ) 0
2A.0
2C. 0
8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分f(z)c(za)n1等于( )
(n)2iA.2if(n1)(a) B.f(a) C.2ifn!(n1)!
9.设C为正向圆周|z+1|=2,n为正整数，则积分(a) D.2ifn!(n)(a) dzc(zi)n1等于( )
1 2iA. 1 B.2πi C.0 D.
10.设C为正向圆周|z|=1，则积分dzc|z|等于( )
A.0 B.2πi C.2π D.-2π
11.设函数f(z)=
zzz0ed，则f(z)等于( ) zzzzzzA.zee1 B.zee1 C.zee1 D.zee1
12.设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则z1cz2dz等于( )
A.2i B.2-i C.-2-i D.-2i
zn-1
13.幂级数的收敛区域为( ) n!n1
A.0|z| B.|z| C.0|z|-1 D.|z|1
sin(z-)3的( ) z14.是函数f(z)=33z-
A. 一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点 D.本性奇点
15.z=-1是函数cotz的( ) (z1)4
A. 3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点
16.幂极数(n1)!nz的收敛半径为( ) (2n)!n1
A. 0 B.1 C.2 D.+
17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)Q(z),则Res[f(z),0]等于( ) z(z-1)
A. Q(0) B.-Q(0) C.Q′(0) D.-Q′(0)
18.下列积分中，积分值不为零的是( )
A.(z32z3)dz,其中C为正向圆周|z-1|2 c
B.ezdz,其中C为正向圆周|z|5 c
zcsinzdz,其中C为正向圆周|z|1
coszD.dz,其中C为正向圆周|z|2 cz-1C.
19.映射wz2z下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是( )
111A.|z1|1 B.|z1| C.|z| D.|z| 22222
20.下列映射中，把角形域0argz
4保角映射成单位圆内部|w|<1的为( )
z41z4-1z4-iz4iA.w4 B.w4 C.w4 D.w4 z-1z-iz+1z+i
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函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。托马斯称：函数是现代数学思想之花。
《集合与函数概念》一章在高中数学中起着承上启下的作用。本课学习的函数概念及其反映出来的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。函数的思想方法贯穿了高中数学课程的始终。
本小节是继学习集合语言之后，运用集合与对应语言，在初中学习的基础上，进一步刻画函数概念，目的是让学生认识到它们优越性，从根本上揭示函数的本质。因此本课的教学重点是：学会用集合与对应语言刻画函数概念，进一步认识函数是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。
1．正确理解函数的概念，会用集合与对应语言刻画函数。通过实例分析，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；强化数学的应用与建模意识；培养学生的学习兴趣。
2．理解函数三要素，会求简单函数的定义域。通过例题教学与练习，培养归纳概括能力。
3．理解符号y=f(x)的含义，明确f(x)与f(a)的区别与联系。体会函数思想，代换思想，提高思维品质。
本堂课作为一堂公开课，我曾在多个班级试教。主要问题有：
首先，由三个实例归纳共性会遇到困难。原因是由具体实例到抽象的数学语言，要求学生具备较强的归纳概括能力；而对高一学生抽象思维能力相对较弱。
其次，学生不容易认识到函数概念的整体性。原因是把函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。
第三，函数符号y=f(x)比较抽象，学生难以理解。
因此本课的教学难点是：1、从主观知识抽象成为客观概念。2、函数符号y=f(x)的理解。
在初中学生已学习了变量观点下的函数定义，具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生；学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围，学生能列举出函数的实例，已具备初步的数学建模能力。 我们目前所教的学生经历了初中新课程改革，他们普遍思维活跃，表达能力强，有较强的独立解决问题的能力。在平时的学习过程中，他们更喜欢教师创造疑问，然后自己想办法解决问题，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到解决问题的方法。学生作为教学主体随时对所学知识产生有意注意，努力思索解决疑问的方式，使自己的能力通过教师的点拨得到发挥。
针对学生这一学习方式，我们在教学过程中从学生已有的知识经验出发，让学生明白新问题产生的背景，引导学生对三个实例进行分析，然后归纳共性，抽象出用集合与对应语言刻画的函数概念。其间采用了多媒体动画演示、教师引导、学生探究、讨论、交流一系列活动，让学生感到“概念的.得出是水到渠成的，自然的而不是强加于人的”。
对函数概念的整体性的理解，通过设计“想一想”、“练一练”、“试一试”等问题情景激发学生积极参与，在问题解决的过程中巩固函数概念。而对函数符号y=f(x)，则让学生分析实例和动手操作，来认识和理解符号的内涵；并进一步渗透函数思想、代换思想。如三个实例用统一的符号表示、例4中计算当自变量是数字、字母不同情况时的函数值。让学生在做数学中领会含义，学会解题方法，提高解决问题的能力。
《标准》提倡运用信息技术呈现以往教学难以呈现的课程内容，数学的理解需要直观的观察、视觉的感知，特别是几何图形的性质，复杂的计算过程，函数的动态变化过程、几何直观背景等，若能利用信息技术来直观呈现使其可视化将会有助于学生的理解。本节课将充分利用信息技术支持课堂教学。
1、 多媒体动画演示炮弹发射。在形象生动的情景中感受高度h随时间t的变化而变化的运动规律。
2、 用几何画板画出h=130t-5t2的图象。在图象上任取一点P(t,h),然后拖动点P的位置，观察点P的横坐标t与纵坐标h的变化规律。
3、 制作幻灯片展示问题情景。
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教学目标：
使学生掌握对数形式复合函数的'单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.
教学重点：
复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.
教学难点：
复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.
教学过程：
(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜23
(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞23 ，∴a＞1
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0 答案：D
［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小
|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝| lg（1－x）lga |－| lg（1+x）lga |
∴上式＝－1|lga| [（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－1|lga| lg(1－x2)
由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－1|lga| lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|
lg(1+x)lg(1－x) ＝|log(1－x)(1+x)|
∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)11＋x
∴0＜log(1－x) 11＋x ＜log(1－x)(1－x)＝1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)loga1－x1＋x ＝1|lg2a| lg(1－x2)lg1－x1＋x
即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|
当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|
＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|
［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.
当a2－1≠0时，其充要条件是：
a2－1＞0△＝（a＋1）2－4（a2－1）＜0 解得a＜－1或a＞53
又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.
［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(34 x).
①当x＞1时，若34 x＞1，则x＞43 ，这时f(x)＞g(x).
②当0＜x＜1时，0＜34 x＜1，logx34 x＞0，这时f(x)＞g(x)
故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（43 ，+∞）时，f(x)＞g(x)
［例6］解方程：2 (9x－1－5)＝ [4（3x－1－2）]
(9x－1－5)＝ [4（3x－1－2）]
∴9x－1－5＝4(3x－1－2) 即9x－1－43x－1+3＝0
∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0 ∴3x－1＝1或3x－1＝3
log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2
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