三角换元解题思想总结

春游三角公园

盼着盼着，春天终于来了，万物复苏，百花齐放，在这大好的季节里，妈妈带着我和表妹去家附近的三角公园游玩。

刚一走进三角公园，满眼的赤橙黄绿青蓝紫，就好像老天爷打翻了颜料瓶，把人间打扮的绚丽多彩。

我抬眼望去，山腰上开满了一大片的桃花，就像一片云霞落到了山坡上。于是，我和妹妹瞬间决定要去爬山，到那片“云霞”中去。

一路上，我们走走跳跳，欣赏着美丽的景色。迎春花紧紧吸引了我们的眼球，我们不知不觉地停下了脚步，仔细观赏着迎春花，我发现这里的迎春花和我们学校的迎春花不一样，学校的迎春花是往下垂的。这里的迎春花是往上长的。大概是地点不一样的原因吧，那数不清的小黄花就像天上的星星落了下来，那金黄的颜色，明亮的'照耀着我们的眼睛。似乎每一朵小花上都有一个新的生命在颤动，这美丽的迎春花。

我们继续向山顶进发，我们从山的背面爬了上去，一路上非常艰难，我是手脚并用爬的，妹妹干脆趴到土地上匍匐前进，终于爬上了山顶。满眼的桃花在微风中散发着阵阵清香，沁人心脾、令人陶醉，刚才的劳累一扫而光。这些桃花开得重重叠叠，一蔟堆在另一蔟上，置身其中有一种飘飘欲仙的感觉。

“春面不寒杨柳风”，是呀。举目远眺，远处的柳树垂下来柔嫩如丝的柳条，在春风吹动下，它轻柔盈美的身姿为三角公园增添了许多生机。看着看着，我仿佛也变成了一棵小柳树，正在茁壮的成长。

我爱三角公园的景色，更爱它那无限的生机。我还常常来欣赏它的美。

（5）三角换元解题思想总结

三角函数线及其应用

教学目标

1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题． 2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力． 3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性． 教学重点与难点

三角函数线的作法与应用． 教学过程设计

一、复习

师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？

生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）

师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？

生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．

师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？

生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关． 师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．

二、新课

师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？ 生：还是取r=1．

师：如果r=1，那么P点在什么位置？

生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆

师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？

（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）

师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．

师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？

生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数． 师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？

生：是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由．

生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式． 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？ 生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．

师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？

生：线段的长度没有负数．

生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．

（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）

师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！

生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．

师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段

师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．

师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜． 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．

生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．

（图中的线段随教学过程逐渐添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．

师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值．

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）

3．三角函数线

（1）正弦线——MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？

生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致． 师：现在来找余弦线．

生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线． 师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？

生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP也是负的，也有cosα=NP． 师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？

生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．

师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？ 生：OM．（板书）

（2）余弦线——OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定．）

师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？

生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）

坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值． 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？ 生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上． 生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．

生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．

师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．

生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．

师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？

生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．

师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角．（如果学生答不出来，由教师讲授即可．）师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）

（3）正切线——AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．

生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的． 师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．

设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）

4．三角函数线的应用

例1 比较下列各组数的大小：

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）

（画出同一个角的两种三角函数线）． 师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）

例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为

（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确． 作业

（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．

（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题． 课堂教学设计说明

关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．

数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．

（6）三角换元解题思想总结

在众多花卉中,有人喜欢绚丽多彩的菊花,有人喜欢淡雅清新的茉莉花,而我却喜欢红艳欲滴的三角梅。

瞧！三角梅枝繁叶茂，远看，像一个五彩缤纷的大花篮，近看，像一堆熊熊燃烧的火艳。看了的人都会赞不绝口地说：真美呀！

它的花与众不同，你们知道为什么吗？因为它花中有花。红花是由三片花瓣组成的，花瓣的形状很像叶子,看上去薄而透明。垂下来的花像一只风铃。时而吹来一阵风,发出了叮铃叮铃清脆悦耳的风铃声。三角梅的花还像一簇簇燃烧的火把，它照亮了周围的花草树木。花的中间有三个花芯,红色的柄开出白色的小花,像一颗颗星星眨着眼睛。三角梅有殷红色的、大红色的、还有梅红色的，缀满枝头，漂亮极了！

三角梅大叶是心形的,浅绿色；老叶子是老叶子是绿色；而刚刚长出来的是绿中带红的。小叶子远看像一根眉毛,有时像一轮弯弯的月牙,看上去很可爱。

大家可别小看三角梅，它有顽强的生命力。不管是在寒冷的冬天，还是炎热的夏天，三角梅都不受任和环境的影响,依然顽强的生活着，给大地妈妈增添了美丽的色彩。

虽然三角梅没有牧丹花的韵与多姿，也没有扶桑花的雍容华贵，但我还是喜欢可爱的三角梅！

（7）三角换元解题思想总结

三角梅开花要注意哪些<\/h2>

1、选培养土：对土壤要求不严，但怕积水，不耐涝，因此，必须选择疏松、排水良好的培养土 一般可选用腐殖土4份、园土4份、沙2份配制的培养土，也可使用晒干塘泥掺些煤饼渣作盆土。

2、合理施肥：要使其开花，必须保证充足的养分，同时施肥要适时适量，合理使用。一般4月~7月份生长旺期，每隔7~10天施液肥一次，以促进植株生长健壮，肥料可用10%~20%腐熟豆饼、菜籽饼水或人粪水等。

8月份开始，为了促使花蕾的孕育，施以磷肥为主的肥料，每10天施肥一次，可用20%的腐熟鸡鸭鸽粪和鱼杂等液肥。

3、花前控水：平时浇水掌握“不干不浇，浇则要透”的原则。但要开花整齐、多花，开花前必须进行控水。从9月份开始对九重葛的浇水进行控制，每次浇水要等到盆土干燥、枝叶软垂后方可进行 如此反复连续半个月时间，半个月后恢复平时正常浇水。

三角梅的花期怎样延长<\/h2>

一、它的花期

它的花期与许多影响因素有关。不过，总体来看，都集中在四到十一月。在很多情况下，它一年不只开一次花。有时候，它开一次花能持续较长的时间，这都是有可能的。所以，具体它在什么时候开花，要看当地的气候、品种等多种因素的综合。

二、影响开花时间的因素

1、地区：这是最大的影响因素。不同的地区，开花的时间一般来说是不一样的。特别是南方和北方，开花时间相差较大。通常来说，北方的三角梅开花时间要早，南方的开花时间比较晚。比如北京，开花可能在十月份，南方的则要在十一月份。比如在广西养殖三角梅，它会在十一月份形成花朵。

2、气温：气温的高低也会影响开花时间。开花是需要适宜的温度的，如果温度非常低，那么它开花就会晚。但是，温度也不能太高，高温会导致开花时间缩短，开花的质量也不好。

3、是否在室内：室内的各种条件都比较适合，所以开花可能会早。

4、品种：品种对开花时间也有影响，但是总体来看并不是太大。

三角梅养值方法<\/h2>

1、选培养土：对土壤要求不严，但怕积水，不耐涝，因此，必须选择疏松、排水良好的培养土 一般可选用腐殖土4份、园土4份、沙2份配制的培养土，也可使用晒干塘泥掺些煤饼渣作盆土。

2、合理施肥：要使其开花，必须保证充足的养分，同时施肥要适时适量，合理使用。一般4月~7月份生长旺期，每隔7~10天施液肥一次，以促进植株生长健壮，肥料可用10%~20%腐熟豆饼、菜籽饼水或人粪水等。

8月份开始，为了促使花蕾的孕育，施以磷肥为主的肥料，每10天施肥一次，可用20%的腐熟鸡鸭鸽粪和鱼杂等液肥。

3、花前控水：平时浇水掌握“不干不浇，浇则要透”的原则。但要开花整齐、多花，开花前必须进行控水。从9月份开始对九重葛的浇水进行控制，每次浇水要等到盆土干燥、枝叶软垂后方可进行 如此反复连续半个月时间，半个月后恢复平时正常浇水。

如何控制三角梅的开花时间？<\/h2>

　1、三角梅开花时尽量不要浇水，这样花期就会长些。花期浇水会导致花很快就掉了，因此在三角梅开花时要注意不要浇水。另外给三角梅施肥过多或者是选择的肥料不正确，会导致三角梅烧根，整个植株发生萎蔫，叶片发黄，掉花。

2、三角梅喜欢阳光，每天要保证9小时以上的光照才能保证其枝繁叶茂，花团锦簇。如果开花期间光照达不到，就会使三角梅生长状况不正常而导致落花。

3、三角梅正常开花的时间是10-11月份，花芽分化一般在8-9九月份完成。为了使三角梅开出更多美丽的花朵，可以通过适当的控水的方式来促进花芽的分化，并且在其开花期间可以多是些磷肥，这样有助于延长三角梅的花期。

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